15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8

Bài 1Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
ĐS: Tính đúng x = 7; x = -3
b)

HD: x = 2007
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
HD: 4x – 12.2x +32 = 0
2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0

2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0
(2x – 8)(2x – 4) = 0

(2x – 23)(2x –22) = 0
2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0

2x = 23 hoặc 2x = 22
x = 3; x = 2
Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
Tính giá trị của biểu thức:

Giải:


yz = –xy–xz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

Do đó:


Tính đúng A = 1

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Giải:
Gọi
là số phải tìm a, b, c, d
N,


Ta có:







Do đó: m2–k2 = 1353

(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 k = 4
Kết luận đúng
= 3136
Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Giải:
a)
;
Tương tự:
;



b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:




c)Vẽ Cx
CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD
BC + CD
-
BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2

AB2 + AD2
(BC+CD)2
AB2 + 4CC’2
(BC+AC)2
4CC’2
(BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2
4BB’2
(AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)
(AB+BC+AC)2


Đẳng thức xảy ra
BC = AC, AC = AB, AB = BC
AB = AC =BC


ABC đều

Bài 5:
Cho
.
Chứng minh rằng
.
Giải: Biến đổi đẳng thức để được

Biến đổi để có

Biến đổi để có
(*)
ì
;
;
; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi
;
và
;
Từ đó suy ra a = b = c
Bài 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
.
Giải: Biến đổi để có A=

=

Vì

và
nên

do đó

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi


Bài 7
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Giải:
Chứng minh được tứ giác