KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ
QUÝ PHHS VÀ CÁC BẠN
TẬP THỂ LỚP 12
XIN TRÌNH BÀY DỰ ÁN
Chuyên đề : TÂM ĐỐI XỨNG
&
TRỤC ĐỐI XỨNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục 0y .Có nghĩa là ,trục 0y là trục đối xứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ 0 làm tâm đối xứng
3. Cho hai điểm và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
4. Cho điểm
. Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của
thì công thức chuyển trục là :

Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X)
B. GHI NHỚ :
- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng
- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
A.     TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Nội Dung :

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).
- Chứng minh rằng : điểm  
là tâm đối xứng của đồ thị.
- Tìm điểm 
 là tâm đối xứng của đồ thị.
PHƯƠNG PHÁP :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến công thức đổi trục là :


+Viết phương trình đường cong (C) trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F(X).

+ Kiểm tra hàm Y=F(X) là hàm lẻ. Từ đó kết luận điểm I(x0,y0) là tâm đối xứng của đồ thị.






Cách 2 :


Gọi D là miền xác định của hàm số f(x)
Ta chứng minh rằng :




Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F(X) là hàm lẻ.
Ví dụ 1 :Cho đồ thị hàm số 
Giải

Gọi ( nếu có)
Chuyển

tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số





Để    là tâm đối xứng thì phải là hàm số lẻ






Vậy là tâm đối xứng của đồ thị
Ví dụ2.
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm là tâm đối xứng .

Ta có :





- Cho
y``=0



- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I






- Vậy với m=-1 và m=1 thì là tâm đối xứng của đồ thị
Ví Dụ 3:
Cho hàm số:

Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm    làm tâm đối xứng.
Giải 
Với phép biến đổi tọa độ:
Khi đó hàm số có dạng:
Hàm số (1) là hàm số lẻ.
Vậy,đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

Ví dụ 4. Cho (C) :

. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
GIẢI
Giả sử (C) có tâm đối xứng là
- Phương trình (C) viết lại thành dạng :
- Chuyển :
- Phương trình (C) trong hệ mới là :
:
- Để hàm số là lẻ :
Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng
B.    TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Nội Dung :
Đối với hàm trùng phương
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)
+ Chứng minh rằng : đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị.
+ Tìm trục đối xứng của đồ thị có phương song song với trục tung .
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo
vectơ tịnh tiến 
Công thức đổi trục là

với nên

+ Viết phương trình đường cong (C) trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F(X).

+ Kiểm tra hàm Y=F(X) là hàm chẵn. Từ đó kết luận đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị.

Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm trục đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F(X) là hàm chẵn.
Cách 2 :
Gọi D là miền xác định của hàm số f(x)
Ta chứng minh rằng :


Đối với hàm nhất biến
Công thức đổi trục



Và đưa về dạng hyperbol vuông góc:
Ví dụ 1

Cho , , hãy tìm đường thẳng là trục đối xứng của (C)
Bài làm
Tâm đối xứng
Ta dời gốc tọa độ về tâm đối xứng . Ta có
(Hypebol Vuông góc)
Gọi (d1): Y=-X là đường phân giác của góc phần tư thứ II và thứ IV . (d1) là trục đối xứng của đồ thị (c). Ta có
mà


Ta có




(d1): là trục đối xứng của đồ thị (c)



Gọi (d2):Y=X là đườg phân giác của góc phần tư thứ I và thứ III là trục đối xứng của đồ thị (c) . Ta có
Y=X mà


Ta có




(d2) : là trục đối xứng của đồ thị (c)
Ví dụ 2
Cho hàm số:  

Chứng mình rằng đồ thị của hàm số nhận các đường thẳng y=x+2,y=−x  làm trục đối xứng.
Bài làm
Tâm đối xứng
Dời gốc tọa độ về tâm đối xứng





Hypebol vuông góc (2)


 Đồ thị của (2) có trục đối xứng là Y=X và Y=−X
 Đồ thị của (1) có trục đối xứng
Ta có : mà



Là trục đối xứng của đồ thị
Ta có : mà


Ta có :
Là trục đối xứng của (c)


Ví Dụ 3 : Cho hàm số:  .Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy
Giải
+ Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x=a (a≠ 0)
+ Khi đó, với phép biến đổi tọa độ :
là hàm số chẵn
Ta có :
Hàm số (1) là hàm số chẵn :
Vậy với m=4 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ ,QUÝ PHHS
VÀ
CÁC BẠN ĐÃ LẮNG NGHE !